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群作用

$群の左作用$

ϕ

が

(G, \cdot)

の

X

に対する左作用:

(1)

ϕ (g, x) = gx

(2)

ϕ (1_{G}, x) = x

(3)

ϕ (g, ϕ (g_{2}, x)) = ϕ (g_{1} \cdot g_{2}, x)

$群の右作用$

ϕ

が

(G, \cdot)

の

X

に対する右作用:

(1) ϕ (g, x) = gx (2) ϕ (1_{G}, x) = x (3^{'}) ϕ (g_{1}, ϕ (g_{2}, x)) = ϕ (g_{2} \cdot g_{1}, x)

$変換群$

G

が

X

の変換群:

G

の

X

に対する作用

ϕ

が存在する

$作用の性質1$

写像

f : X \to X x \mapsto gx

は全単射

$作用の性質2$

∣ G ∣ = n \Rightarrow

群単射準同型写像

ψ : G \to S_{n}

が存在する

$軌道$

x

の

G

による軌道

G x := {gx \in X ∣ g \in G}

$推移的$

作用

ϕ

が推移的:

\exists x \in X, G x = X

$安定化群$

x

の安定化群

G_{x} := {g \in G ∣ gx = x}

$軌道および安定化群の性質$

gx = y \Rightarrow G x = G y, G_{y} = g G_{x} g^{- 1}

x = y

$作用による同値関係$

x \sim_{R} y \Leftrightarrow d e f G x = G y

のとき

\sim_{R}

は同値関係で

[x]_{R} = G x

$共役$

x, y

が共役

: \exists g \in G, y = gx g^{- 1}

$共役類$

x

の共役類

C (x) := {y \in G ∣\exists g \in G, y = gx g^{- 1}}

$軌道・安定化(固定化)部分群定理$

自然な全単射

π : G x \to G / G_{x}, gx \mapsto g G_{x}

が存在<br>

∣ G x ∣ = (G : G_{x}) \land ∣ G x ∣

が有限

\Rightarrow ∣ G x ∣ = ∣ G ∣/∣ G_{x} ∣

$類等式$

(1) ∣ C (x) ∣ = ∣ G ∣/∣ Z_{G} (x) ∣ (2) x \in Z (x) \Leftrightarrow C (x) = {x} (3) ∣ G ∣ = \sum ∣ C (x) ∣