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順序集合

$半順序$

R

が

A

上の半順序:

\forall a, b, c \in A

1. a \leq_{R} a 2. (a \leq_{R} b \land b \leq_{R} c) \to a \leq_{R} c 3. (a \leq_{R} b \land b \leq_{R} a) \to a = b

$＜$

a

＜

_{R} b : (a \leq_{R} b) \land (a \neq = b)

$全順序$

R

が

A

上の全順序

4.

\forall a, b \in A (a \leq_{R} b \lor b \leq_{R} a)

$順序集合$

(A, \leq_{R})

が半順序集合もしくは順序集合:

R

が

A

上の半順序

$全順序集合$

(A, \leq_{R})

が全順序集合:

R

が

A

上の全順序

$上界$

x

が

A

の上界:

\forall y \in A (y \leq_{R} x)

$下界$

x

が

A

の下界:

\forall y \in A (x \leq_{R} y)

$最大元$

x

が

A

の最大元:

x \in A

かつ

x

は

A

の上界

$最小元$

x

が

A

の最小元:

x \in A

かつ

x

は

A

の下界

$命題$

最大元、最小元が存在すれば唯一

$上限$

x

が

A

の上限

s u p A

:

集合

{y \in P ∣ y

は

A

の上界

}

の最小元

$下限$

x

が

A

の下限

in f A

:

集合

{y \in P ∣ y

は

A

の下界

}

の最大元

$命題$

上限、下限が存在すれば唯一

$命題$

上限が存在すれば上限は上界

下限が存在すれば下限は下界

$命題$

ma x A

が存在する

\Rightarrow ma x A = s u p A

min A

が存在する

\Rightarrow min A = in f A

$極大元$

x

が

A

の極大元:

x \in A

かつ

\forall y \in A (x \leq_{R} y \to x = y)

$極小元$

x

が

A

の極小元:

x \in A

かつ

\forall y \in A (y \leq_{R} x \to x = y)

$命題$

max A

が存在する

\Rightarrow max A

は

A

の極大元

min A

が存在する

\Rightarrow min A

は

A

の極小元