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基底

$線形結合$

{v_{1}, \dots, v_{n}}

の

{k_{1}, ..., k_{n}}

を係数とする線形結合:

\sum_{i = 1}^{n} k_{i} v_{i}

$有限生成部分線形空間$

V

の

{v_{1}, \dots, v_{n}}

で生成された線形部分空間:

W = {\sum_{i = 1}^{n} k_{i} v_{i} ∣ k_{i} \in K}

$タイトル$

内容をここに

$タイトル$

内容をここに

$線形独立・線形従属$

{v_{1}, ..., v_{n}}

が線型独立:

\sum_{i = 1}^{n} k_{i} v_{i} = 0 \Rightarrow k_{1} = k_{2} = ... = k_{n} = 0

{v_{1}, ..., v_{n}}

が線型従属:

{v_{1}, ..., v_{n}}

が線型独立でない

$タイトル$

内容をここに

$線型独立の線型結合は一意に表される$

1. {v_{1}, ..., v_{n}} は線形独立 2. a_{1} v_{1} + ..., + a_{n} v_{n} = b_{1} v_{1} + ... + b_{n} v_{n} \Rightarrow a_{1} = b_{1}, ... a_{n} = b_{n}

$有限基底$

{v_{1}, ..., v_{n}}

が

V

の有限基底:

1. {v_{1}, ..., v_{n}} は線型独立 2.\forall x \in V \exists a_{1}, ..., a_{n} \in K (x = a_{1} v_{1} + ... + a_{n} v_{n})

$タイトル$

内容をここに

$タイトル$

内容をここに

$有限・無限次元線形空間$

V

が有限次元線形空間:

V

が有限基底を持つ

V

が無限次元線形空間:

V

が有限基底を持たない

$部分空間の線形独立なベクトルの個数$

W

の任意の

n + 1

個以上のベクトルは線形従属

$タイトル$

内容をここに

$n次元$

V

が

n

次元線形空間:

\exists v_{1}, ..., v_{n} \in V ({v_{1}, ..., v_{n}}

が

V

の有限基底

)

この時

dim V = n

と表す

$タイトル$

内容をここに

$タイトル$

内容をここに

$タイトル$

内容をここに

$タイトル$

内容をここに

$次元数の一意性$

V

が有限次元の時

dim V

は一意に定まる

$タイトル$

内容をここに

$タイトル$

内容をここに

$タイトル$

内容をここに

$部分空間の次元$

W_{1}, W_{2}

:部分空間

d im (W_{1} + W_{2}) = d im W_{1} + d im W_{2} - d im (W_{1} \cap W_{2})