
$\{A_\lambda\}_{\lambda \in \Lambda}$の直積\\$\displaystyle{\prod_{\lambda \in \Lambda}}A_\lambda:=\{f:\Lambda \rightarrow \displaystyle{\bigcup_{\lambda \in \Lambda}A_\lambda}|\forall \lambda \in \Lambda \ (f(\lambda )\in A_\lambda)\}$

集合族の直積


$ \Lambda\neq \phi \land \forall \lambda \in \Lambda (A_\lambda \neq \phi)\Rightarrow\displaystyle{\prod_{\lambda \in \Lambda}}A_\lambda \neq \phi$

選択公理 AC


$(A,\leq_R)$が帰納的順序集合:\\$B\subset A, B\neq \phi, (B,\leq_{R})$が全順序集合$\Rightarrow B$が$A$に上界を持つ

帰納的順序集合


任意の帰納的順序集合には極大元が存在する

Zornの補題

任意の集合に整列順序を定義できる

整列可能定理

これらは全て同値である\\すなわち選択公理を仮定すればこれらは成り立つ
\\
1.選択公理\\2.Zornの補題\\3.整列可能定理

選択公理

$集合族の直積$

$選択公理 AC$

$帰納的順序集合$

$Zornの補題$

$整列可能定理$

$命題$