
$\|\cdot \|$がノルム:
\\
$\forall x,y \in V, \forall \alpha \in \mathbb{K}$
    \\ 
    $\begin{aligned}
     & (N1) \| x \|≥0; \|x \|=0\Leftrightarrow x=0 
    \\ 
     & (N2) \|\alpha x \|=|\alpha|\|x\|
     \\ 
     & (N3) \|x+y\|≤\|x||+\|y\|
    \end{aligned}$
    


ノルム


$(V, \| \cdot \| )$がノルム空間:     $|\cdot |$がノルム

ノルム空間


$\left<\cdot \cdot \right>$が内積:\\
$\forall x,y,z\in V,\alpha \in \mathbb{K}$
\\
$\begin{aligned}
 & 1. \left<x,x \right>≥0,\left<x,x\right>=0\Leftrightarrow x=0 
\\ 
 & 2.\left<x,y\right>=\overline{ y,x }
 \\
 &3.\left< \alpha x,y \right>=\alpha \left< x,y \right>
 \\
 &4.\left< x+y,z\right> =\left< x,z\right> +\left< y,z\right>
\end{aligned}$




内積


$(V,\left<\cdot \cdot \right>)$が内積空間:   $\left<\cdot \cdot \right>$が内積
\\
内積が自明な場合は単に内積空間$ V$ と表記する

内積空間

 
$\begin{aligned}
 & 1.\left<x,\alpha y\right>=\overline{\alpha}\left<x,y\right> 
\\ 
 & 2.\left<x,y+z\right>=\left<x,y\right>+\left<x,z\right>
\end{aligned}$


性質


内積空間$V$のノルムを$\|x\|=\sqrt{\left<x,x\right>}$と定める

内積空間

$ノルム$

$ノルム空間$

$内積$

$内積空間$

$性質$

$内積空間のノルム$

$シュワルツの不等式$