有限加法的測度

$有限加法族$

F

が

X

の有限加法族:

1. ϕ \in F 2. A \in F \Rightarrow A^{c} \in F 3. A, B \in F \Rightarrow A \cup B \in F

F : X

の有限加法族

1. X \in F 2. A, B \in F \Rightarrow A \cap B, A - B \in F

K = {i = 1 ∐ n K_{i} ∣ n \in N, K_{i} = F_{i} \times G_{i} (F_{i} \in F, G_{i} \in G)}

K

:

Z

の有限加法族

m

が

F

上の有限加法的測度:

1. m (ϕ) = 0 2. A, B \in F, A \cap B = ϕ \Rightarrow m (A + B) + m (A) + m (B)

Expected $

m^{'}

が

F

上の有限完全加法的測度:

A = n = 1 ⋃ \infty A_{n} \in F \Rightarrow m (A) = n = 1 \sum \infty m (A_{n})

X

の区間塊:

i = 1 ∐ i = n (a_{i}, b_{i}] (n \in N)

F_{N} : R^{N}

の区間塊全体の集合

m_{N} (I) = ⎩ ⎨ ⎧ 0 (I = ϕ) sup {m (J) ∣ J \subset I, J は有界区間} (I : 非有界区間) \prod_{i = 1}^{N} {f_{i} (b_{i}) - f_{i} (a_{i})} (I : 有界区間) \sum_{i = 1}^{n} m (I_{i}) (I : 区間塊, I = ∐_{i = 1}^{n} I_{i})

この時

m

は

F

上の有限加法的測度であり、

m

が

F

上の完全有限加法的測度

\Leftrightarrow \forall f_{i}

が右連致