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部分群

$部分群$

H

が

(G, \cdot)

の部分群:

(H, \cdot)

が群

$自明な部分群$

G

の自明な部分群:

{e_{G}}

$単位元と逆元の遺伝$

e_{G} = e_{H}

a_{G}^{- 1} = a_{H}^{- 1}

$部分群の遺伝$

H_{1}, H_{2}

が

G

の部分群

\Rightarrow

H_{1} \cap H_{2}

は

G

の部分群

$集合・集合$

ST = {s \cdot t ∣ s \in S, t \in T}

S^{- 1} = {s^{- 1} ∣ s \in S}

$元・集合$

a S = {a \cdot s ∣ s \in S} S a = {s \cdot a ∣ s \in S} a S b = {a \cdot s \cdot b ∣ s \in S, t \in T}

$元の個数$

∣ a S ∣ = ∣ S b ∣ = ∣ a S b ∣ = ∣ S ∣

$部分群・同値な命題1$

1. H は G の部分群 2.\forall a, b \in H (ab \in H \land a^{- 1} \in H) 3.\forall a, b \in H (a^{- 1} b \in H)

$部分群\(\cdot\)同値な命題2$

1. H は G の部分群 2 H \subset H \land H^{- 1} \subset H 3^{'} H^{- 1} H \subset H

$生成される部分群$

S

から生成される部分群

⟨ S ⟩

:

1. S \subset ⟨ S ⟩ 2. H が (G, \cdot) の部分群 \Rightarrow ∣ ⟨ S ⟩ ∣ \leq ∣ H ∣

$中心化群$

S

の中心化群

Z_{G} (S) := {x \in G ∣\forall s \in S (x \cdot s \cdot x^{- 1} = s)}

$正規化群$

S

の正規化群

N_{G} (S) := {x \in G ∣ x S x^{- 1} = S}

$一点集合の場合$

S = {a} \Rightarrow Z_{G} (S) = N_{G} (S)

$中心$

G

の中心:

Z_{G} (G)

$正規部分群$

N

が

G

の正規部分群:

\forall x \in G (x N x^{- 1} \subset N)

G ▹ N

と表す

$正規部分群・同値な命題$

以下同値

1. G ▹ H 2 N (H) = G

$命題$

1. N (H) ▹ H 2. G ▹ Z (G)

$単純群$

G

が単純群：

G ▹ N \Rightarrow (N = {e_{G}} \lor N = G)