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準同型写像

$群準同型写像$

f

が

G, G^{'}

間の群準同型写像：

\forall x, y \in G, f (x \cdot y) = f (x) ⋄ f (y)

$単位元、逆元の遺伝$

f (e) = e^{'} f (x^{- 1}) = f (x)^{- 1} f (x^{n}) = f (x)^{n}

$群同型写像$

f

が

G, G^{'}

間の群同型写像：

f

が

G, G^{'}

間の群準同型写像かつ全単射

$群同型写像の逆写像$

f

は

G, G^{'}

間の群同型写像

\Leftrightarrow f^{- 1}

は

G, G^{'}

間の群同型写像

$単射と同値な命題$

f

が

G, G^{'}

間の単射群準同型写像

\Leftrightarrow (f (x) = e^{'} \Rightarrow x = e)

$群同型$

G

と

G^{'}

は群同型

G ≅ G^{'}

：

G, G^{'}

間の群同型写像

f^{'}

が存在する

$自己群同型写像$

g

が

G

の自己群同型写像：

g

が群同型写像

$自己同型群$

G

の自己同型群:

(A u t (G), \cdot)

$核、像$

f

の核

Ker f := {x \in G ∣ f (x) = e^{'}}

f

の像

I m f := {f (x) \in G^{'} ∣ x \in G}

$第一同型定理（群準同型定理）$

k er f

は

G

の正規部分群、

I m f

は

G^{'}

の部分群

そして

G / Ker f ≅ I m f

$第二同型定理$

N

は

N H

の正規部分群

そして

H / H \cap N ≅ H N / N

$第三同型定理$

N / K

は

G / K

の正規部分群

そして

(G / K) / (N / K) ≅ G / N

$命題$

f^{- 1} (H^{'}) は G の部分群 f^{- 1} (N^{'}) は G の正規部分群

$G,G/Nの標準的な群準同型写像$

G, G / N

の標準的な群準同型写像

π : G \to G / N; x \mapsto x N

$命題$

π

は全射群準同型写像であり、

k er π = N