行列式
det(A)=∑σ∈σ′ε(σ)a1i1,a2i2,⋯anin
サラスの公式
detA=a11a22a33+a13a21a32+a12a23a31−a13a22a31−a12a21a33−a11a23a32
行列式の和
det⎝⎛a11⋮⋮an1⋯⋯ν∑cνa1j,ν⋮⋮ν∑cνanj,ν⋯⋯a1n⋮⋮ann⎠⎞
=∑νcνdet⎝⎛a11⋮⋮an1⋯⋯a1j,ν⋮⋮anj,ν⋯⋯a1n⋮⋮ann⎠⎞ 行列式 (置換)
det⎝⎛a11⋮⋮an1⋯⋯a1k⋮⋮ank⋯⋯a1j⋮⋮anj⋯⋯a1n⋮⋮ann⎠⎞
=−det⎝⎛a11⋮⋮an1⋯⋯a1j⋮⋮anj⋯⋯a1k⋮⋮ank⋯⋯a1n⋮⋮ann⎠⎞ 行列式 (0)
det⎝⎛a11⋮⋮an1⋯⋯0⋮⋮0⋯⋯a1n⋮⋮ann⎠⎞=0 行列式 (積)
det(AB)=detAdetB
det(A−1)=(detA)−1
小行列
Aのi行とj列を除いた小行列:
Cij=⎝⎛a11⋮ai−1,1ai+1,1⋮an1⋯⋯⋯⋯a1,j−1⋮ai−1,j−1ai+1,j−1⋮an,j−1a1,j+1⋮ai−1,j+1ai+1,j+1⋮an,j+1⋯⋯⋯⋯a1n⋮ai−1,nai+1,n⋮ann⎠⎞ 余因子
A の余因子: Aij:=(−1)i+jdetCij
余因子展開
detA=∑i=1naikAik
detA=∑i=1naliAli
積の公式の一般化
A:m×n行列,B:n×m行列,C=AB
1.m=n⇒detC=detAdetB2.m>n⇒detC=03.m<n⇒detC=1≤α1⋯<αm≤n∑det⎝⎛a1α1a1α2a1αma2α1a2α2⋯a2αm⋯⋯⋯⋯amα1amα2amα1⎠⎞det⎝⎛b1α1b1α2b1αmb2α1b2α2⋯b2αm⋯⋯⋯⋯bmα1bmα2bmα1⎠⎞