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外測度

$外測度$

Γ

が

X

の外測度

1.Γ (ϕ) = 0 2. A \subset B \Rightarrow Γ (A) \leq Γ (B) 3.Γ (n = 1 ⋃ \infty A_{n}) \leq n = 1 \sum \infty Γ (A_{n})

$定理1$

Γ (A) = in f n = 1 \sum \infty m (E_{n})

1.Γ は外測度 2. m が F 上で完全加法的 \Rightarrow \forall E \in F (Γ (E) = m (E))

$ルベーグ外測度$

E

のルベーグ外測度:

μ^{*} (E) := in f {n = 1 \sum \infty v o l (I_{n}) ∣ {I_{n}}_{n \in N}

は

E

の被覆

}

$可測$

E

が

Γ

-可測:

\forall A \subset X (Γ (A) = Γ (A \cap E) + Γ (A \cap E^{c}))

$可測集合の性質1$

\forall A_{1} \subset E, A_{2} \subset E^{c} (Γ (A_{1} + A_{2}) = Γ (A_{1}) + Γ (A_{2}))

$可測集合の性質2$

1. E \in M_{Γ} \Rightarrow E^{c} \in M_{Γ}

2.Γ (E) = 0 \Rightarrow E \in M_{Γ}

$零集合$

E

が

Γ

に関する零集合:

E \in M_{Γ}, Γ (E) = 0

$定理$

定理1の

Γ

について

F \subset M_{Γ}

$定理$

E_{n} \in M_{Γ} (n \in N), E_{i} \cap E_{j} = ϕ (\forall i, j \in N, i \neq = j)

の時\

S = n = 1 \sum \infty E_{k} \Rightarrow S \in M_{Γ}, Γ (S) = n = 1 \sum \infty Γ (E_{k})

$定理$

E, F \in M_{Γ} \Rightarrow E - F \in M_{Γ}, E \cap F \in M_{Γ}

$定理$

E_{n} \in M_{Γ} \Rightarrow n = 1 ⋃ \infty E_{n} \in M_{Γ}