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実級数の収束

$無限級数$

{a_{n}}_{n = 1}^{\infty}

の無限級数

: \sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}

$部分和$

{a_{n}}

の第

n

部分和

: S_{n} = \sum_{k = 1}^{n} a_{k}

$無限級数の収束$

\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}

が収束:

{S_{n}}_{n = 1}^{\infty}

が収束

\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}

が発散:

{S_{n}}_{n = 1}^{\infty}

が発散

$無限等比級数の収束$

1.∣ r ∣ < 1 \Rightarrow n = 1 \sum \infty a r^{n = 1} = \frac{a}{1 - r} 2.∣ r ∣ \geq 1 \Rightarrow n = 1 \sum \infty a r^{n - 1} は発散

$交代級数$

交代級数

: n = 1 \sum \infty (- 1)^{n - 1} a_{n}, (\forall n \in N (a_{n} \geq 0))

$ライプニッツの判定条件$

{a_{n}}_{n = 1}^{\infty} :

単調減少数列\

a_{n} > 0 \land n \to \infty lim a_{n} = 0 \Rightarrow n = 1 \sum \infty (- 1)^{n - 1} a_{n}

は収束

$優級数・劣級数の収束$

\forall n \in N (0 \leq a_{n} \leq b_{n}) \land n = 1 \sum \infty b_{n}

が収束

\Rightarrow n = 1 \sum \infty a_{n}

が収束

$調和級数$

調和級数

: n = 1 \sum \infty \frac{1}{n ^{α}} (α > 0)

$調和級数に関する収束条件$

n = 1 \sum \infty \frac{1}{n ^{α}} (α > 0)

が収束

: α > 1

$絶対収束$

n = 1 \sum \infty a_{n}

が絶対収束

: n = 1 \sum \infty ∣ a_{n} ∣

が収束

$条件収束$

n = 1 \sum \infty a_{n}

が条件収束

: n = 1 \sum \infty ∣ a_{n} ∣

が発散

\land n = 1 \sum \infty a_{n}

が収束

$定理$

n = 1 \sum \infty ∣ a_{n} ∣

が収束

\Rightarrow n = 1 \sum \infty a_{n}

が収束

$ダランベールの判定法$

n \to \infty lim ∣ \frac{a _{n + 1}}{a _{n}} ∣ < 1 \Rightarrow n = 1 \sum \infty a_{n} が絶対収束 n \to \infty lim ∣ \frac{a _{n + 1}}{a _{n}} ∣ > 1 \Rightarrow n = 1 \sum \infty a_{n} が発散

$コーシーの冪根判定法$

n \to \infty lim sup ∣ n a_{n} ∣ < 1 \Rightarrow n = 1 \sum \infty a_{n}

が収束

n \to \infty lim sup ∣ n a_{n} ∣ > 1 \Rightarrow n = 1 \sum \infty a_{n}

が発散