実数列の収束

$点列の極限$

{p_{n}}

が

p

に収束とは

\forall ε > 0\exists n_{0} \in N \forall n \in N (n \geq n_{0} \to d (p_{n}, p) < ε)

を満たすことである．

この時，

n \to \infty lim p_{n} = p

または

p_{n} \to p

と書く

{s_{n}} :

が

s

に収束:

n \to \infty lim s_{n} = s

または

s_{n} \to s

\forall ε > 0, \exists N \in N \forall n \in N, (n \geq N \to ∣ s_{n} - s ∣ < ε)

lim_{n \to \infty} q^{n} = ⎩ ⎨ ⎧ 0 (0 < q < 1) 1 (q = 1) \infty (q > 1)

収束する実数列を収束実数列という

{s_{n}} が有界数列 : \exists B > 0, \forall n \in N (∣ s_{n} ∣ < B) {s_{n}} が上に有界 : \exists M > 0, \forall n \in N (s_{n} < M) {s_{n}} が下に有界 : \exists L > 0, \forall n \in N (s_{n} > L)

収束数列は有界数列である

{s_{n}}

が発散する:

{s_{n}}

が収束列ではない

{s_{n}}

が

\infty

に発散する

\forall B > 0, \exists N \in N, \forall n \in N, (n \geq N \to s_{n} > B)

lim_{n \to \infty} s_{n} = \infty

と表す