コンパクト

$被覆$

{U_{λ}}_{λ \in Λ}

が

X

の被覆:

X = λ \in Λ ⋃ U_{λ}

{U_{λ}}_{λ \in Λ}

が

(X, O)

の開被覆:

1. U_{λ} \in O 2. X = λ \in Λ ⋃ U_{λ}

{U_{λ}}_{λ \in Λ}

が

A

の部分集合としての被覆:

A \subset λ \in Λ ⋃ U_{λ}

{U_{λ}}_{λ \in Λ}

が

(A, O_{A})

の部分集合としての開被覆:

1. U_{λ} \in O 2. A \subset λ \in Λ ⋃ U_{λ}

(X, O_{X})

がコンパクト空間:

{U_{λ}}_{λ \in Λ}

が

(X, O_{X})

の開被覆

\Rightarrow \exists Λ_{0} \subset Λ (X = λ \in Λ_{0} ⋃ U_{λ})

A

が

(X, O_{X})

のコンパクト集合:

{U_{λ}}_{λ \in Λ}

が

(X, O_{X})

の開被覆

\Rightarrow \exists Λ_{0} \subset Λ (A \subset λ \in Λ_{0} ⋃ U_{λ})

次は同値

1 A はコンパクト集合 2.\forall {F_{λ}}_{λ \in Λ} \subset C, \forall Λ_{0} \subset Λ (A \cap (λ \in Λ_{0} ⋂ F_{λ_{0}})) \neq = ϕ \Rightarrow A \cap (λ \in Λ ⋂ F_{λ}) \neq = ϕ

f (A)

は

(Y, O_{Y})

のコンパクト集合

A \cap F

は

(X, O_{X})

のコンパクト集合

A \times B

は

(X \times Y, O_{X} ♮ O_{Y})

のコンパクト集合