剰余群

$左合同・右合同$

a

は

b

に左合同

a \sim_{L G H} b : a^{- 1} b \in H

a

は

b

に右合同

a \sim_{RG H} b : b a^{- 1} \in H

a

L G H, RG H

は同値関係

G

の

H

による左剰余類

[a]_{L}^{G H} = {x \in G ∣ a \sim_{L G H} b}

G

の

H

による右剰余類

[a]_{R}^{G H} = {x \in G ∣ a \sim_{RG H} b}

[a]_{L}^{G H} = a H

[a]_{R}^{G H} = H a

∣ [a]_{L}^{G H} ∣ = ∣ [a]_{R}^{G H} ∣ = ∣ a H ∣ = ∣ H a ∣ = ∣ H ∣

G

の

H

に関する左完全代表系:

{g_{1}, g_{2}, ... g_{n}} (g_{i} \in [s_{i}]_{L}^{G H})

G

の

H

に関する右完全代表系:

{g_{1}, g_{2}, ... g_{m}} (g_{i} \in [t_{i}]_{R}^{G H})

{a_{λ}}_{λ \in Λ}

が

G

の

H

に関する左完全代表系

\Leftrightarrow

{a_{λ}^{- 1}}_{λ \in Λ}

が

G

の

H

に関する右完全代表系

{a_{λ} b_{μ}}_{λ \in Λ, μ \in M}

は

G

の

H

に関する左(右)完全代表系

[a]_{L}^{GN} = a N = N a = [a]_{R}^{GN}

{a_{λ}}_{λ \in Λ}

が

G

の

N

に関する左完全代表系

\Leftrightarrow

{a_{λ}}_{λ \in Λ}

が

G

の

N

に関する右完全代表系