直交系

$直交$

a, b

が互いに直交:

⟨ a, b ⟩ = 0

{v_{1}, ... v_{n}}

が

V

の直交系:

1 \leq i \neq = j \leq n \Rightarrow< v_{i}, v_{j} >= 0

{f_{1}, ... f_{n}}

が

V

の正規直交系:

1 \leq i, j \leq n \Rightarrow< f_{i}, f_{j} >= δ_{ij}

{f_{1}, ... f_{n}}

が

V

の正規直交基底:

1. V の正規直交系 2. V の基底

{f_{1}, \dots, f_{p}} : W

の正規直交系

(p \leq r)

\

\exists {f_{i} ∣ p + 1 \leq i \leq r, i \in N}, ({f_{1}, \dots, f_{p}, f_{p + 1}, \dots f_{r}}

が正規直交基底

))

任意の有限次元部分空間に対して正規直交基底が存在する

{a_{1}, \dots, a_{r}} : W

の基底\

f_{1} = 1∣∣ a_{1} ∣∣

f_{p} = a_{p} - \sum_{i = 1}^{p - 1} (a_{p}, f_{i}) f_{i} (1 \leq p \leq r)

W

の直交補空間:

W^{⊥} = {x \in V ∣\forall y \in W (< x, y >= 0)}

(W^{⊥})^{⊥} = W

V = W \oplus W^{⊥}