
$f$が線形写像:
\\
$\forall \boldsymbol{u_1 u_2,u}\in U, \forall \alpha\in \mathbb{K}$
\\ 
$\begin{aligned}
 & 1. f(\boldsymbol{u_1+u_2})=f(\boldsymbol{u_1})+f(\boldsymbol{u_2}) 
\\ 
 & 2.f(\alpha \boldsymbol{u})=\alpha f(\boldsymbol{u}) 
\end{aligned}$


線形写像


$f:U \rightarrow V$が線形写像の時\\以下同値
\\ 
$\begin{aligned}
 & 1.f\text{が全単射 }
\\ 
 & 2.\exists g:V\rightarrow U (g\circ f=id_U \land f\circ g=id_V)
\end{aligned}$

命題


$f$が線形同型写像:
\\ 
$\begin{aligned}
 & 1.f\text{が線形写像}
\\ 
 & 2.f\text{が全単射} 
\end{aligned}$


線形同型写像

$f$が線形変換:線形写像$f:V \rightarrow V$

線形変換


$f$の核:$Kerf:=\{\boldsymbol{x}|\boldsymbol{x}\in U,f(\boldsymbol{x})=\boldsymbol{0}\}$
\\
$f$の像:$Imf:=\{\boldsymbol{y}|\boldsymbol{y}\in V,\boldsymbol{y}=f(\boldsymbol{x})\}$

線形写像の核・像

$\begin{aligned}
 & (1)Imf\subset V,Kerf\subset U
\\ 
 & (2)f\text{が全射}\Leftrightarrow Imf=V
\\
& (3)f\text{が単射}\Leftrightarrow Kerf=\{\boldsymbol{0}\}
\end{aligned}$



次元公式

双対空間$V^*$:線形写像$f:V\rightarrow \mathbb{K}$全体の集合

双対空間

双対空間は$\mathbb{K}$上の$n$次元線形空間である

線形写像

$線形写像$

$命題$

$線形同型写像$

$線形変換$

$線形写像の核・像$

$命題$

$次元公式$

$双対空間$

$双対空間は線形空間$