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正規行列

$随伴行列$

A

の随伴行列:

A^{*} = (\overline{a}_{ji})

$正規行列$

A

が正規行列:

A A^{*} = A^{*} A

$射影子$

V

から

W

への射影子:

A : V \to W (x \mapsto x_{1})

$対称行列、交代行列$

A

が対称行列

: A = A^{T}

A

が交代行列

: A = - A^{T}

$エルミート行列$

A

がエルミート行列:

A = A^{*}

$ユニタリ行列$

U

がユニタリ行列:

U^{*} U = E

$ユニタリ行列の性質1$

U V

はユニタリ行列

$ユニタリ行列の性質2$

U^{- 1} = U^{*}

$ユニタリ行列$

ユニタリ行列は正規行列

$ユニタリ行列$

U^{*}

はユニタリ行列

$ユニタリ行列の性質3$

ユニタリ行列全体の集合は群をなす

$ユニタリ行列の性質4$

∣ d e t U ∣ = 1

$ユニタリ行列の性質5$

ユニタリ行列の固有値を

λ

とする

∣ λ ∣ = 1

$ユニタリ行列の性質6$

U^{*} A^{n} U = (U^{*} A U)^{n}

$ユニタリ行列の性質7$

以下同値

1.行列

A

はユニタリ行列

2

. ⟨ U x, U y ⟩ = ⟨ x, y ⟩

$ユニタリ行列の性質8$

以下同値

1. 行列 U はユニタリ行列 2.∥ U x ∥ = ∥ x ∥

$ユニタリ行列の性質9$

ユニタリ行列の列ベクトルは正規直交基底

$ユニタリ行列の性質10$

任意の正規行列

A

に対してあるユニタリ行列が存在して

U^{- 1} A U = A