
集合$X$の点列:写像$p:\mathbb{N}\rightarrow X;n\mapsto p_n$であり\\$\{p_n\}$と表す

点列


順序を保つ写像$i:A\rightarrow A;k\mapsto i_k$\\$\forall k,k'\in A (k<k'\rightarrow i_{k}<i_{k'})$

順序を保つ写像


$p_n$の部分列$p_{i_k}$:\\順序を保つ写像$i:\mathbb{N}\rightarrow \mathbb{N};k\rightarrow i_k$に対し\\$p':\mathbb{N}\rightarrow X;k\mapsto p_{i_k}$

部分点列


集合$X$の点列$\{p_n\}$が$p\in X$に収束:\\$\forall ε>0\exists n_0\in \mathbb{N}\forall n\in \mathbb{N}(n\geq n_0\rightarrow d(p_n,p)<ε)$
\\

この時$\displaystyle\lim_{n \to \infty}p_n=p$もしくは$p_n\rightarrow p$と書き\\$p$を極限値とよぶ

極限

極限値を持つ点列を収束列と呼ぶ

収束列


点列$\{p_n\}$がコーシー列:$\forall ε>0\exists n_0\in \mathbb{N}\forall m,n\in\mathbb{N}(m,n\geq n_0\Rightarrow d(p_m,p_n)<ε)$

コーシー列


点列$\{p_n\}$\\収束列$\Rightarrow$コーシー列

収束列はコーシー列


$(X,d)$が完備:$X,d$の任意のコーシー列が収束列である

収束

$点列$

$順序を保つ写像$

$部分点列$

$極限$

$収束列$

$コーシー列$

$収束列はコーシー列$

$完備距離空間$