対称群

$置換$

σ

が

n

次置換:

σ

が全単射

(i_{1}, σ (i_{1}), i_{2}, σ (i_{2}), ... ... i_{n} σ (i_{n})) := σ

n

次置換の演算

∙

:

\forall σ_{1}, σ_{2} \in S_{n} (∙ (σ_{1}, σ_{2}) = σ_{1} \circ σ_{2})

n

次対称群

: (S_{n}, ∙)

σ_{K_{mn}}

が

Ω

の

m

巡回置換:

⎩ ⎨ ⎧ σ_{K_{mn}} (k_{1}) = k_{m} σ_{K_{mn}} (k_{i}) = k_{i - 1} σ_{K_{mn}} (p) = p (2 \leq i \leq m) (p \in Ω - K_{m})

(k_{1}, k_{2}, ... k_{m}) := σ_{K_{mn}}

Ω

の互換:

Ω

の

2

巡回置換

任意の置換は巡回置換の積で表せる

任意の巡回置換は互換の積で表せる

m_{1}

が偶数

\Leftrightarrow m_{2}

が偶数

m_{1}

が奇数

\Leftrightarrow m_{2}

が奇数

σ

が

n

次偶置換:

m_{1}

が偶数

σ

が

n

次奇置換:

m_{1}

が奇数

n

次交代群:

(A_{n}, ∙)