連続性定理1

$単調増加・減少数列$

{s_{n}}

が単調増加数列とは任意の自然数

n \geq 1

に対して

(s_{n} \leq s_{n + 1})

{s_{n}}

が単調減少数列とは任意の自然数

n \geq 1

に対して

(s_{n} \geq s_{n + 1})

が成立することである

{s_{n}}

が上に有界で単調増加数列

\Rightarrow {s_{n}}

は収束列

{s_{n}}

が下に有界で単調減少数列

\Rightarrow {s_{n}}

は収束列

α = sup X \Leftrightarrow

1.\forall x \in X (x \leq α) 2.\forall ε > 0, \exists x \in X, (x > α - ε)

β = in f X

1. \Leftrightarrow 1, \forall x \in X, (x \geq β) 2.\forall ε > 0, \exists x \in X, (x < β + ε)

X \neq = \emptyset

が上に有界

\Rightarrow sup X

が存在する

X \neq = \emptyset

が下に有界

\Rightarrow in f X

が存在する

{a_{n}}_{n = 1}^{\infty}

の部分列

: {a_{n_{k}}}_{k = 1}^{\infty}

{a_{n}}_{n = 1}^{\infty}

が有界

\Rightarrow {a_{n}}_{n = 1}^{\infty}

の収束する部分列が存在

s

{a_{n}}_{n = 1}^{\infty}

が有界

\Leftrightarrow {a_{n}}_{n = 1}^{\infty}

がコーシー列

I_{n + 1} \subset I_{n} (n \in N) \Rightarrow ⋂_{n = 1}^{\infty} I_{n} \neq = ϕ

lim_{n \to \infty} (b_{n} - a_{n}) = 0 \Rightarrow ⋂_{n = 1}^{\infty} I_{n} = {a} lim_{n \to \infty} a_{n} = lim_{n \to \infty} b_{n} = a