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測度空間

$シグマ加法族$

B

is

σ

-algebra of

X

:

1.\emptyset \in B 2. A \in B \Rightarrow A^{c} \in B 3. i \in N, A_{i} \in B \Rightarrow ⋃_{n = 1}^{\infty} A_{n} \in B

$測度$

μ

が

B

上の測度:

1. μ (\emptyset) = 0 2.\forall n \in N (A_{n} \in B), A_{i} \cap A_{j} = \emptyset (i \neq = j) \Rightarrow μ (⋃_{n = 1}^{\infty} A_{n}) = \sum_{n = 1}^{\infty} μ (A_{n})

$測度の性質$

1. A, B \in F, A \subset B \Rightarrow μ (A) \leq μ (B) 1^{'} . A, B \in F, A \subset B, μ (A) < \infty \Rightarrow μ (B - A) = μ (B) - μ (A) 2. A_{n} \in F (n \in N) \Rightarrow μ (n = 1 ⋃ \infty A_{n}) \leq n = 1 \sum \infty μ (A_{n})

$A.E$

P

がほとんど全ての点

x \in E

で成立:

μ (E_{0}) \neq = 0 \Rightarrow P (E_{0})

が真

$測度空間$

(X, B, μ)

が測度空間:

B

が

X

の

σ

-加法族かつ

μ

が

F

上の測度

$定理$

M_{Γ}

は

X

の

σ

-加法族

Γ

は

M_{Γ}

上の測度

$定理$

{A_{n}}_{n \in N}

が単調増加列

または\

{A_{n}}_{n \in N}

が単調減少列かつ

μ (A_{1}) < \infty

\Rightarrow μ (n \to \infty lim A_{n}) = n \to \infty lim μ (A_{n})

$定理$

μ (n \to \infty lim inf A_{n}) \leq n \to \infty lim inf μ (A_{n})

$定理$

μ (n = 1 ⋃ \infty A_{n}) < \infty \Rightarrow μ (n \to \infty lim sup A_{n}) \geq n \to \infty lim sup μ (A_{n})

$定理$

μ (⋃_{n = 1}^{\infty} A_{n}) < \infty \land n \to \infty lim A_{n}

が存在

\Rightarrow μ (n \to \infty lim A_{n}) = n \to \infty lim μ (A_{n})

$ルベーグ可測集合$

A

がルベーグ可測集合:

A \in M_{μ^{*}}

$ルベーグ測度$

M_{μ^{*}}

上のルベーグ測度:

μ^{*}

$定理$

U_{0}

が

X

の部分集合族の時

\exists B_{0} \in B (U_{0} \subset B_{0} \land \forall B \in B (B_{0} \subset B))