Science Metro

距離空間

$関数$

ここでは数の集合への写像を関数と呼ぶ

$距離の公理$

距離

d : X \times X \to R

は次を満たす:

\forall x, y, z \in X

1. d (x, y) \geq 0 2. d (x, y) = 0 \Leftrightarrow x = y 3. d (x, y) = d (y, x) 4. d (x, z) \leq d (x, y) + d (y, z)

$距離空間$

X

と距離関数

d

の組

(X, d)

を距離空間という

$ε-近傍$

x_{0}

を中心とする

ε

-近傍

U (x_{0}, ε) := {x \in X ∣ d (x, x_{0}) < ε}

$近傍$

U

は

x

の近傍:

\exists ε > 0 (U (x, ε) \subset U)

$開集合$

A

は開集合

: \forall x \in 0\exists ε > 0 (U (x, ε) \subset O)

$距離位相$

距離位相

O_{d}

=

{O \subset X ∣\forall x \in A \exists ε > 0 (U (x, ε) \subset A)}

と定める

$閉集合$

F

が閉集合:

F^{c} \in O_{d}

$内点$

x

が

A

の内点:

\exists ε > 0 (U (x, ε) \subset A)

\Leftrightarrow A

が

x

の近傍

$内部$

A

の内部もしくは開核

A^{o} := {x \in X ∣ x

は

A

の内点

}

$触点$

x

は

A

の触点:

\forall ε > 0 (U (x, ε) \cap A \neq = ϕ)

$閉包$

A

の閉包

\overline{A} := {x \in X ∣ x

は

A

の触点

}

$外点$

x

は

A

の外点:

x

は

\overline{A}

の内点

$外部$

A

の外部

A^{co} := {x \in X ∣ x

は

A

の外点

} = (A^{c})^{o}

$境界$

A

の境界:

\overline{A} \ A^{o}

$集積点$

x

が

A

の集積点:

x

が

A ∖ {x}

の触点

$孤立点$

x

が

A

の孤立点:

\exists ε > 0 (U (x, ε) \cap A = {x})

$距離空間における連続写像$

写像

f

が点

x

で連続:

\forall ε > 0\exists δ > 0 (f (U (x, δ) \subset U (f (x, ε)))

写像

f

が連続:任意の点

x \in X

で連続

$距離位相による連続写像$

1. f が x で連続 2. n \to \infty lim x_{n} = x \Rightarrow n \to \infty lim f (x_{n}) = f (x)